Experimentos com o ressonador de Helmholtz.

Niels Fontes Lima
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia - IFBahia

Determinação da freqüência natural e do fator de qualidade de um Ressonador de Helmholtz.

O ressonador de Helmholtz é um sistema simples composto por um volume de ar confinado e um gargalo, como uma garrafa. O ar contido no gargalo oscila em primeira aproximação como um oscilador harmônico amortecido. As equações do movimento do ar contido no gargalo são facilmente derivadas a partir de conhecimentos básicos de teoria dos fluidos e hidrodinâmica e são análogas às equações de um sistema massa-mola amortecido. A freqüência própria ou natural do oscilador e o tempo de relaxação ou fator de qualidade dependem de parâmetros geométricos, como volume do ressonador, comprimento e diâmetro do gargalo, e da velocidade do som, e podem ser calculados a partir das relações deduzidas em “O Ressonador de Helmholtz” (LIMA, 2006). O applet “RessonadorDeHelmholtz” (LIMA, 2006) é uma demonstração animada do ressonador como oscilador linear e calcula os parâmetros característicos do oscilador (freqüência natural, tempo de decaimento e fator de qualidade), podendo ser usado como uma “calculadora especializada” nas atividades aqui propostas.

Nestes experimentos, um microfone colocado dentro de uma garrafa PET transduz a pressão em seu interior em função do tempo, e seu sinal é gravado em arquivo de áudio que pode ser analisado com os próprios recursos do programa editor de som ou ser exportado para outros programas de tratamento e apresentação de dados. A pressão no interior da garrafa está diretamente relacionada ao deslocamento do centro de massa do ar no gargalo e, portanto, o sinal do microfone gravado é um registro indireto da posição do oscilador em função do tempo, representando a própria equação horária da posição.

A freqüência natural e o tempo de relaxação, ou o fator de qualidade, do ressonador são determinados de duas maneiras diferentes, representando importantes aspectos do movimento do oscilador harmônico amortecido e sua descrição matemática. Da primeira maneira, estuda-se a equação horária do oscilador harmônico amortecido, em duas condições: i) oscilando espontaneamente após ser retirado do equilíbrio e ii) sujeito a uma força externa senoidal de freqüência definida. O sinal gravado pelo microfone é comparado com a equação horária de um oscilador harmônico amortecido, e seus parâmetros são determinados. Além das determinações quantitativas, no caso do oscilador forçado podem ser observados os regimes transiente e permanente e suas propriedades.

Da segunda maneira, estuda-se a curva de ressonância do oscilador, gravando-se o sinal do microfone num ressonador sujeito a um som de freqüência variável e analisando-se a dependência da amplitude da oscilação em função da freqüência do som. A freqüência de ressonância e o fator de qualidade são determinados pela posição e pela largura em freqüência da curva de ressonância.

O material e os procedimentos básicos utilizados nos diversos experimentos propostos são os mesmos, e são descritos a seguir.

Material utilizado Computador multimídia padrão, com caixas de som padrão, com um dos alto-falantes fora da caixa. Programa “CoolEdit”. Microfone para computador padrão, de uso dedicado à montagem. Garrafa de dimensões conhecidas (volume total, comprimento e diâmetro do gargalo) com o microfone instalado em seu interior.

Procedimento

Instalar o microfone e o alto-falante na placa de som ou na saída das caixas amplificadas.

Gerar ou abrir arquivo de som no programa “CoolEdit”.

Abrir arquivo para gravar microfone (“CoolEdit”).

Iniciar gravação do microfone.

Iniciar reprodução do som no alto-falante.

Terminar gravação do microfone quando o arquivo de som terminar, ou quando decorrido tempo necessário. Salvar arquivo gravado.

Analisar o arquivo gravado.

1. Equação horária do Ressonador de Helmholtz

Introdução

Neste experimento estudamos a equação horária do movimento de um ressonador de Helmholtz, um oscilador harmônico amortecido oscilando espontaneamente ou sujeito a um som de freqüência definida. O objetivo do experimento é determinar os parâmetros dinâmicos (freqüência de oscilação e tempo de decaimento) do ressonador a partir do sinal gravado pelo microfone no interior da garrafa, e compará-los com os valores previstos teoricamente, verificando experimentalmente a equação horária do oscilador harmônico amortecido (OHA).  Vamos, além disso, estudar a equação horária do ressonador forçado e verificar as duas partes da solução, transiente e permanente, do oscilador harmônico amortecido sujeito à força externa periódica (OHAF) da forma F(t) = Fcos(wt).

A equação horária de um OHA é

X(t) = X₀exp(-t/2t)cos[w't - f₀]

onde X₀ e f₀ são determinados pelas condições iniciais e w' = w₀(1 - 1/4Q²)^1/2 é a freqüência de oscilação amortecida. A freqüência angular natural é w₀, t é o tempo de decaimento e o fator de qualidade é definido como Q = w₀t. Para valores de Q >> 1 a freqüência da oscilação amortecida é praticamente igual à freqüência natural.

A solução da equação do movimento do OHAF é a soma da solução geral da equação homogênea do OHA com uma solução particular da equação não homogênea com o termo forçado

X(t) = X₀exp(-t/2t)cos[w't - f₀] + X(w)cos[wt - f(w)].

O primeiro termo, que depende das condições iniciais, é o transiente que decai para zero quando t >> t, e o segundo é o termo permanente, responsável pelo comportamento a longo prazo do oscilador forçado. A amplitude da oscilação forçada X(w) e a diferença de fase entre o movimento e a força externa f(w dependem da freqüência da força externa.

Espera-se que, assim que a excitação sonora externa seja interrompida, o movimento do ressonador de Helmholtz torne-se uma oscilação amortecida, como o primeiro termo da equação horária do OHAF, na qual as condições iniciais X₀ e f₀ dependem apenas da posição e da velocidade no instante da interrupção da força externa. Vale ressaltar que essa oscilação não depende da freqüência da oscilação forçada anterior, já que toda a memória do sistema dinâmico está na posição e velocidade do ressonador no momento da interrupção do som externo. Como muitos estudantes relutam em aceitar esse fato, são utilizadas três freqüências distintas para a excitação do ressonador de Helmholtz para confirmá-lo.

Na situação experimental que vamos implementar, o ressonador será sujeito a uma força oscilante devido a um som de freqüência conhecida, durante certo tempo, ao fim do qual o som será interrompido. O registro da equação horária do movimento do ressonador, através do sinal do microfone no interior da garrafa, deverá permitir a identificação dos intervalos de tempo no qual o movimento se dá nos regimes transiente, enquanto as condições iniciais ainda são importantes, permanente, depois disso, e de decaimento espontâneo, quando a força externa é interrompida.

O estudo do regime permanente, em particular do fenômeno conhecido por ressonância, será feito na segunda parte deste experimento (Curva de Ressonância). Aqui estudaremos qualitativamente a superposição das soluções transiente e permanente, e determinaremos os parâmetros dinâmicos do OHA: freqüência natural f₀ = w₀/2p, tempo de decaimento t e fator de qualidade Q = w₀t, a partir da análise do sinal gravado pelo microfone no decaimento espontâneo. Esses parâmetros são dados pela teoria linear do ressonador de Helmholtz a partir dos parâmetros físicos e geométricos do ressonador (LIMA, 2006) e podem ser verificados experimentalmente. Os dados para determinar os parâmetros do oscilador também podem ser obtidos produzindo-se sons curtos e intensos, como estalos, próximo à boca da garrafa, ou por pequenas pancadas em seu corpo.

Procedimento

Inicie o programa "Cool Edit". Aparecerá uma janela para você escolher quais recursos do programa estarão disponíveis na sessão, e você vai marcar a primeira (Save, External Clipboard... etc.) e a quinta (Amplify, Envelope...etc.) opções.

Inicie a gravação do microfone pressionando o botão Record no canto inferior esquerdo da janela do editor. Para começar, estale os dedos ou dê piparotes na boca e no corpo da garrafa, e grave o sinal do microfone dentro da garrafa. Interrompa a gravação e visualize o sinal gravado. Observe que, excetuando algumas gravações com transitórios muito estranhos, grande parte ou alguns dos eventos gravados exibem uma oscilação amortecida típica. Para esses eventos, é possível determinar a freqüência de oscilação a partir da medida da duração de alguns ciclos completos, e o tempo de decaimento a partir da medida da variação da amplitude registrada ao longo de alguns ciclos, da forma como é descrita no item "Análise dos Resultados" para o procedimento mais completo, com cujos resultados podem ser comparados.

ii) Criar arquivos com sons senoidais de freqüências definidas

Para fazer o estudo da equação horária do oscilador harmônico amortecido forçado periodicamente (OHAF), serão usados sons de freqüência e duração definidas para excitar o ressonador de Helmholtz. Crie um novo arquivo no programa editor de som, escolhendo New Instance no item de menu File, no qual serão gerados sinais senoidais de 2,0 s de duração e freqüência igual à definida pelo professor (no caso aqui mostrado, essa freqüência é de 170 Hz). No ítem de menu Generate escolha Tones.... Ao fazer isso pela primeira vez no arquivo, a janela New Waveform abrirá, e deve-se escolher as mesmas opções que as do arquivo do microfone no item anterior. Após isso, será aberta a janela Generate Tones, que permite gerar composições de sons harmônicos e outras formas de onda. Certifique-se que a opção escolhida é "Lock to these settings only". Em Base Frequency, escreva o valor 170 (Hz) e no meio da parte de baixo da janela , no quadro "General", escolha Flavor = Sine e Duration = 2 (s). A janela com as opções corretas marcadas é mostrada na Figura 1.

Figura 1. Gerar um som senoidal de 170 Hz e 2,0 s de duração.

Salve o arquivo com um nome adequado no formato Windows PCM (extensão .wav). Repita isso para as duas outras freqüências determinadas (neste exemplo, 185 e 200 Hz).

iii) Registrar a equação horária do OHAF

Comece a gravar o sinal do microfone. Reproduza, pressionando o botão Play, os sons gerados em cada arquivo; faça isso duas ou três vezes, enquanto grava o sinal do microfone na garrafa, para cada uma das três freqüências. Após 2 s do fim da última reprodução de som, interrompa a gravação pressionando o botão Stop, e salve o arquivo. Pode ser necessário ajustar o volume de reprodução do som, de forma que o sinal gravado seja suficientemente alto mas não ultrapasse o limite máximo de amplitude de gravação. O nível de gravação pode ser monitorado pelo indicador do nível de gravação (barra vermelha), que não deve ultrapassar a marca de 0 dB. Observe que a intensidade sonora no interior da garrafa é significativamente maior na freqüência intermediária (185 Hz, neste exemplo) do que para as outras duas freqüências.

Análise dos resultados

Usando os recursos de zoom e de navegação ao longo do intervalo de tempo gravado, observe os sinais gravados nas diversas situações. Identifique em cada gravação os intervalos nos quais

1. o transiente é importante;

2. o regime permanente já foi estabelecido;

3. o oscilador oscila espontaneamente após o som ser suspenso.

Para cada freqüência de excitação, você deverá determinar a freqüência de oscilação no regime permanente e na oscilação espontânea (após o som de freqüência determinada ser suspenso) e o tempo de decaimento da oscilação espontânea, da forma que é descrita no próximo item.

A Figura 2 mostra como exemplo o sinal do microfone em função do tempo, registrado em experimento realizado no laboratório didático do Cefet-Ba, com uma freqüência de excitação de 170 Hz. O gráfico mostra, na sua parte inicial, a oscilação forçada do ressonador com a freqüência de excitação, enquanto ele está submetido ao som gerado, e, a partir de determinado instante, a oscilação amortecida, quando o som externo é interrompido.

Figura 2. Oscilação amortecida (freqüência de excitação 170 Hz).

A freqüência da oscilação forçada, a freqüência própria e o tempo de decaimento da oscilação são determinados através do tratamento e análise dos sinais gravados em cada experimento, parte dos quais pode ser feita no próprio programa editor e o restante exportando-se os dados para programas mais avançados de tratamento e apresentação de dados.

a) Determinação das freqüências de oscilação

Considerando que o fator de qualidade Q é suficientemente alto, podemos tomar a freqüência de oscilação do oscilador amortecido como aproximadamente igual à freqüência natural. A freqüência de oscilação pode ser determinada de algumas formas, mas a mais imediata delas, usando os recurso do próprio editor de som, é pela determinação da duração total de um certo número conhecido de ciclos, e o cálculo da freqüência como a razão entre o número de ciclos no intervalo e a duração total do intervalo. Para isso, seleciona-se o intervalo do sinal que contém os ciclos contados e a duração do intervalo é mostrada em "Time:". Para melhor precisão, deve ser usada a escala de tempo "Samples" do aplicativo (escolhida clicando-se com o botão direito do mouse sobre a escala de tempo), medida em intervalos de duração de 1s/48000 (escolhida ao criar o arquivo).

Na Figura 4, como exemplo, mostramos seis ciclos completos de oscilação, num intervalo no qual o movimento é de oscilação espontânea, com duração de 1585 unidades de tempo (neste caso, é a duração total do arquivo mostrado). Dessa forma, a freqüência de oscilação determinada experimentalmente na situação da Figura 3 é f = [1585*(1s/48000)/6]^-1 = 181,7 Hz. Você é capaz de avaliar a imprecisão desse resultado?

A partir dos sinais obtidos nas três situações experimentais, determine as freqüências da oscilação forçada e da oscilação espontânea para cada freqüência de excitação utilizada, e preencha as Tabelas 1 e 2.

Tabela 1. Freqüência das oscilações forçadas.

Tabela 2. Freqüência das oscilações espontâneas.

Compare os valores obtidos nas três determinações. A freqüência de oscilação amortecida depende da freqüência de excitação inicial? Compare esses valores com a estimativa teórica, calculada com base nos parâmetros geométricos do ressonador no item "Freqüência natural e fator de qualidade do ressonador de Helmholtz" (vide também applet "RessonadorDeHelmholtz").

b) Determinação do Tempo de Decaimento t

Os dados de amplitude e tempo são obtidos com o auxílio da ferramenta "Statistics..." disponível no ítem de menu "Analyze". Essa janela mostra os valores do máximo e do mínimo no trecho do sinal selecionado, e os botões disponíveis ao lado dos campos com os valores extremos ("->") levam o cursor ao instante no qual o sinal assume tal valor máximo ou mínimo. No caso apresentado na Figura 3, o máximo do intervalo selecionado ("Maximum Sample Value" é A = 22673.

Figura 3: A janela "Statistics...", do item de menu "Analyze", mostra o máximo e o mínimo do sinal gravado no intervalo selecionado. Ao se clicar num dos botões "->" o cursor é levado para o instante de tempo no qual tal extremo ocorreu.

Clicando-se num dos botões ao lado de cada valor extremo (Figura 3), a janela é fechada e o cursor é levado ao instante que corresponde ao extremo registrado, cujo valor é mostrado, nas unidades escolhidas, no campo "Beg:. Essa situação é mostrada na Figura 4, obtida após se clicar no botão do máximo da Figura 3. Neste caso, tal valor é de 132 unidades de 1s/48000. As coordenadas de amplitude e tempo do máximo mostrado na Figura 4 são, portanto, (22673, 132/48000), em unidades arbitrárias de amplitude e tempo em segundos.

Repetindo-se esse procedimento para todos os máximos e mínimos do intervalo considerado (tomando o módulo da amplitude) obtém-se uma tabela A x t que define a envoltória da oscilação amortecida. Com esses dados o tempo de decaimento t pode ser calculado por regressão linear do gráfico ln(A) x t, por sua identificação com o negativo do inverso do dobro do coeficiente angular da reta ajustada: t = -1/2a , e de forma a obter também sua imprecisão. Por exemplo, no caso mostrado na Figura 2, obteve-se o valor t = 0,0363 ± 0,0006 s.

Figura 4: A figura mostra seis ciclos completos de oscilação com duração total de 1585 unidades de tempo ("Time:"). A posição do cursor ("Beg:") O cursor mostra que o máximo do intervalo selecionado na Figura 3 ocorre no instante t = 132 (em unidades s/48000).

A partir dos sinais obtidos nas três situações experimentais, determine o tempo de decaimento e o fator de qualidade do ressonador para cada freqüência de excitação utilizada, e preencha a Tabela 3.

Compare os valores obtidos nas três determinações. O fator de qualidade determinado experimentalmente depende da freqüência de excitação inicial? Compare esses valores com a estimativa teórica, calculada com base nos parâmetros geométricos do ressonador no item "Freqüência natural e fator de qualidade do ressonador de Helmholtz" (vide também applet "RessonadorDeHelmholtz").

2. Curva de ressonância

Introdução

Como foi visto na introdução teórica do experimento anterior, um oscilador harmônico amortecido sujeito a uma força externa periódica acaba por oscilar na freqüência da força externa, com amplitude e fase em relação à força externa que dependem da freqüência e da intensidade (a amplitude) da força externa:

X(w)cos[wt - f(w)]

onde a amplitude é dada por

e a diferença de fase é

Quando a freqüência do som é igual à freqüência própria ou natural do oscilador, acontece o que se chama ressonânciaa: a amplitude de oscilação torna-se muito grande (é máxima numa freqüência próxima da ressonância), a diferença de fase entre a velocidade e a força externa é zero e o acoplamento força-oscilador é máximo. A curva de ressonância mostra que a amplitude de oscilação de um OHAF é uma função bastante concentrada da freqüência, sendo significativamente diferente de zero apenas num intervalo de freqüências estreito centrado na freqüência natural (assumindo Q >> 1). A freqüência de ressonância é determinada pela localização do máximo da amplitude em função da freqüência do som.

A largura da curva de ressonância é definida como o intervalo de freqüência dentro do qual a amplitude da oscilação é maior ou igual a 2^-1/2 (~71%) da amplitude máxima (o que corresponde a valores de potência maiores ou iguais a 50% da potência máxima dissipada). Para valores do fator de qualidade suficientemente grandes, a largura da curva de ressonância é aproximadamente Df = 1/2pt, e essa relação permite determinar o tempo de decaimento através do levantamento da curva de ressonância. A figura 5, determinada para o caso Q = 10, traz a comparação entre a curva de ressonância (em azul) com o intervalo previsto (em cinza claro) e mostra a validade da aproximação adotada. Os gráficos interativos das curvas de ressonância de osciladores mecânico e elétrico (RLC), bem como do ressonador de Helmholtz, podem ser visualizados nos applets acessíveis aqui (LIMA, 2007).

Figura 5. O gráfico acima mostra a amplitude da oscilação em unidade arbitrárias, em função da freqüência da força externa no intervalo entre w = 0 reduzida e w = 2w₀. O retângulo mostrado está centralizado em w₀ com altura igual a 0,71 da amplitude máxima e largura igual a w₀/Q; neste caso aqui mostrado, Q = 10. A posição em freqüência do máximo de amplitude praticamente coincide com a freqüência natural w₀.

Neste experimento, geramos um som com freqüência crescente (rampa de freqüência) com o editor de som e o reproduzimos no sistema de som do PC, enquanto gravamos o sinal do microfone dentro da garrafa. Se a freqüência de ressonância estiver no intervalo gerado, a amplitude do sinal gravado nessa freqüência será muito maior do que no resto, evidenciando-se o fenômeno da ressonância, como claramente mostrado no exemplo da Figura 8.

Procedimento

Como no experimento anterior, crie no editor de áudio um arquivo para gravar o sinal do microfone e um outro no qual será gerado um som com freqüência variável.

i) Criar arquivo para gravar o sinal do microfone

Como no experimento anterior.

ii) Criar rampa de freqüência

Crie um novo arquivo no programa editor de som, escolhendo New Instance no item de menu File, e defina os parâmetros como feito no experimento anterior. Nesse arquivo, abra a janela Generate Tones, (disponível no item de menu Generate > Tones...) e desmarque a opção "Lock to these settings only".  Em Base Frequency  escreva o valor 0 (Hz), no quadro "General" escolha Flavor = Sine e Duration  = 100 (s), e certifique-se que as outras opções escolhidas são como as da Figura 6.

Figura 6. Parâmetros iniciais da rampa de freqüência

Na janela Generate Tones abra a aba Final Settings e copie os dados da situação inicial pressionando o botão Copy from Initial Settings e modifique o valor de Base Frequency para 500 Hz. Clique em OK e salve o arquivo com um nome adequado no format Windows PCM (extensão .WAV).

Figura 7. Parâmetros finais da rampa de freqüência.

iii) Registrar o sinal do microfone

Comece a gravar o sinal do microfone, pressionando o botão "Record" no arquivo do microfone. Alterne para o arquivo da rampa de freqüência e reproduza o som gerado pressionando o botão "Play". O nível de gravação deve ser monitorado pelo indicador do nível de gravação (barra vermelha horizontal), que não deve ultrapassar a marca de 0 dB. Observe que a intensidade sonora no interior da garrafa será significativamente maior na freqüência de ressonância, e talvez seja necessário ajustar o volume de reprodução do som, de forma que o sinal gravado seja suficientemente alto mas não ultrapasse o limite máximo de amplitude de gravação. Após o fim da reprodução da rampa de freqüência, interrompa a gravação pressionando o botão "Stop", e salve o arquivo.

Análise dos resultados

Os resultados mostrados aqui como exemplo foram obtidos em experimento apresentado em relatório de iniciação científica (ROCHA, 2006) e em aulas práticas da disciplina Física Geral e Experimental II dos cursos de engenharia industrial do Cefet-Ba.

A Figura 8 mostra um arquivo gravado a partir de uma rampa de freqüência de 0 a 500 Hz com 100 s de duração (5Hz/s). Como a escala de tempo da figura é muito maior do que a do período das oscilações, a área verde da figura mostra a envoltória das oscilações. A existência de uma freqüência para a qual a amplitude de vibração do ar é máxima é muito evidente, e sua posição está marcada na figura.

Figura 8. Sinal do microfone na garrafa com som de freqüência variável. A posição do máximo de amplitude está selecionada.

a) Determinação da freqüência de ressonância

A freqüência de ressonância pode ser obtida a partir do arquivo gravado de algumas formas diferentes, como pela contagem do número de oscilações num intervalo de tempo ou pela determinação do instante de ocorrência do máximo (conhecendo-se a freqüência externa em função do tempo). Para uma determinação rápida da freqüência (porém não muito controlada, com incerteza desconhecida e resultados às vezes diferentes dos obtidos pelos outros métodos) pode-se usar o analisador de freqüências do próprio CoolEdit. Posicionando-se o cursor sobre o ponto desejado do sinal gravado, como mostrado na Figura 8, é possível fazer a análise em freqüência do sinal, em torno da posição ou no trecho selecionado, e determinar a freqüência dominante. Isso é feito usando-se a opção "Frequency Analysis" disponível no item de menu "Analyze" na barra superior do aplicativo. A janela que se abre quando se escolhe esta opção é vista na Figura 7, que mostra o espectro de freqüências e a freqüência dominante (no campo "Frequency").

Figura 9. Espectro na região da curva mostrada na Figura 8. A freqüência do máximo de amplitude está mostrada em “Frequency”, neste caso igual a 181,23 Hz.

Podemos notar aqui o comportamento não linear do sinal gravado. A Figura 9 mostra a coexistência das freqüências múltiplas da freqüência de oscilação, que são mais importantes quando a amplitude da oscilação é maior. Em outra situação, apesar da escala reduzida da figura 2, pode-se observar que o sinal na oscilação forçada não é simétrico, afastando-se da forma senoidal. O surgimento dessas freqüências harmônicas têm origem em alguma não-linearidade do sistema, e pode ser interessante fazer uma investigação mais profunda desse comportamento.

b) Determinação do fator de qualidade e do tempo de decaimento

O fator de qualidade e o tempo de decaimento do oscilador harmônico amortecido são determinados pela medida da largura da curva de ressonância. A largura em freqüência da curva de ressonância, medida a 71% da amplitude máxima, é identificada com o inverso do tempo de decaimento, Df = 1/2pt.

Para determinar a largura da curva de ressonância, siga o seguinte procedimento:

- Salve em um novo arquivo só a parte do sinal gravado que contém o pico de ressonância;

- Usando a utilidade "Normalize..."; disponível no item de menu "Transform > Amplitude", normalize o sinal fazendo com que o máximo do sinal corresponda à amplitude de 100% (Figura 10). Caso o sinal tenha alguma polarização (média diferente de zero), isso pode ser corrigido com o auxílio da caixa "DC bias adjust"; (por tentativa e erro...).

- Determine a largura (em tempo) da faixa na qual a amplitude do sinal gravado é maior do que 70% do máximo (Figura 11).

- Conhecendo a inclinação da rampa de freqüência utilizada, em Hz/s, determine a largura em freqüência Df da curva de ressonância.

Figura 10: Sinal da curva de ressonância normalizado.

Figura 11: Intervalo no qual a amplitude é maior ou igual a 70% da amplitude normalizada.

No caso mostrado na Figura 11, o intervalo selecionado tem uma duração total de 48305 unidades de tempo (s/48000) que, com a rampa de freqüência de 4 Hz/s utilizada, correspondem à largura da curva Df = (48305/48000)*4 Hz = 4,03 Hz, o que resulta no fator de qualidade Q = f₀/Df = 181,2/4,03 = 44,9 e tempo de decaimento t = 1/2pDf = 0,0395 s. Como você estimaria a imprecisão dessa determinação?

3. Freqüência natural e fator de qualidade do ressonador de Helmholtz

A teoria linear do ressonador de Helmholtz permite calcular os parâmetros do oscilador harmônico amortecido, a freqüência natural e o fator de qualidade, ou o tempo de relaxação, a partir dos parâmetros geométricos da garrafa PET utilizada e da velocidade do som no ar no momento do experimento.  Conforme mostrado em “O Ressonador de Helmholtz” (LIMA, 2006), a freqüência natural é dada por

Onde c é a velocidade do som, S a área da seção reta do gargalo, V o volume da garrafa e L o comprimento efetivo do gargalo.

O tempo de relaxação deve ser definido na freqüência própria, o que dá

Os parâmetros geométricos das garrafas utilizadas foram obtidas em experimento (ROCHA, 2006), e são os seguintes:

Volume interno da garrafa V = 642 x 10^-6 m³

Diâmetro do gargalo d = 21,3 x 10^-3 m

Comprimento do gargalo l = 30,8 x 10^-3 m

Área da secção reta do gargalo S = 356 x 10^-6m²

Comprimento efetivo do gargalo L = l + 0,85d = 49,0 x 10^-3 m

Na ocasião da determinação da curva de ressonância da Figura 8, foi feita a medida da velocidade do som, para a qual se encontrou c = 345,5 ± 3,5 m/s (conforme medido por ressonância numa mangueira). Usando tal valor, obtemos para o valor esperado da freqüência natural o valor de 185 ± 2 Hz, o que também pode ser verificado com o applet "RessonadorDeHelmholtz". Usando os valores da viscosidade do ar h= 1,83 x 10^-5 Ns/m² e da densidade do ar r = 1,29 kg/m³ encontramos para o valor do tempo de decaimento t = 0,3065 s.

A comparação dos resultados obtidos nos dois experimentos, nos exemplos aqui apresentados, entre si e com os valores esperados mostra o seguinte: a concordância do valor medido da freqüência natural do oscilador nos dois experimentos, i) 181,7 Hz e ii) 181,23 Hz, entre si e com o valor esperado 185 ± 2 Hz é notável; por outro lado, a concordância do tempo de relaxação nos dois experimentos entre si é razoável, i) 0,0363 ± 0,0006 s e ii) 0,0395 s, levando em conta que a determinação no segundo método é sujeita a variações grandes pela própria forma de determinação da semi-largura da curva, mas a comparação com o valor esperado é muito insatisfatória. O tempo de relaxação medido é quase dez vezes menor que o esperado, mostrando que há algum processo de dissipação de energia no ressonador utilizado que foi grandemente subestimado. A investigação da razão para essa discordância pode ser um bom tema para pesquisa teórica e experimental.